analytische Funktion

analytische Funktion,

 

in der reellen Analysis jede Funktion f einer reellen Veränderlichen x, die überall in ihrem Definitionsbereich in eine Potenzreihe entwickelt werden kann; man bezeichnet sie als analytisch an der Stelle x ₀, wenn sie um den Punkt x₀ entwickelbar ist, und als analytisch auf einer offenen Menge M, wenn dies um jeden Punkt x ∈ M möglich ist. In der komplexen Analysis wird der funktionentheoretische Begriff der analytischen Funktion verschieden gebraucht; zum Teil werden die analytischen Funktionen mit den holomorphen (oder regulären) Funktionen gleichgesetzt und damit als Funktionen definiert, die um jeden Punkt eines Gebiets der komplexen Zahlenebene (z -Ebene) in eine Potenzreihe entwickelbar sind; zum Teil werden sie als spezielle holomorphe Funktionen definiert und werden als analytisch in einem Gebiet G der z -Ebene bezeichnet, wenn 1) sie außer holomorphen dort höchstens noch singuläre Punkte besitzen, 2) sich je zwei holomorphe Punkte durch eine Kurve verbinden lassen, auf der f überall holomorph ist, 3) f bei jeder möglichen analytischen Fortsetzung in G eindeutig bleibt. Besondere analytische Funktionen sind die meromorphen Funktionen.

 

Literatur:

 

H. Behnke u. F. Sommer: Theorie der a. F. einer komplexen Veränderlichen (³1976).